2006年高考.北京卷.理科数学试题及详细解答

2006年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150

分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。

2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1） 在复平面内，复数

（A）第一象限

1i对应的点位于 i（B）第二象限 （C）第三象限

（D）第四象限

（2）若a与bc都是非零向量，则“abac”是“a(bc)”的

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

（3）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有

（A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个

（4）平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹

是 （A）一条直线 （B）一个圆 （C）一个椭圆 （D）双曲线的一支

(3a1)x4a,x1（5）已知f(x)是(,)上的减函数，那么a的取值范围是

logx,x1a

（A）(0,1) （B）(0,) （C）[,)

131173（D）[,1)

17（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1x2)，|f(x1)f(x2)||x2x1|恒成立”的只有

（A）f(x)1x2 （B）fx|x| （C）f(x)2 （D）f(x)x x4710（7）设f(n)2222

（A）

23n10(nN)，则f(n)等于

（D）

2n22(81) （B）(8n11) （C）(8n31) 7772n4(81) 7（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A,B,C的机动车辆数如

图所示，图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50

（A）x1x2x3 （B）x1x3x2 （C）x2x3x1 （D）x3x2x1

绝密★启用前

2006年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类）（北京卷）

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

1． 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

x23x2（9）lim的值等于__________________.

x1x21

（10）在(x)的展开式中，x的系数中__________________（用数字作答）.

（11）若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线，则

2x7211的值等于_________________. ab

（12）在ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则B的大小是______________.

xy4（13）已知点P(x,y)的坐标满足条件yx，点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_______,

x1最大值等于____________.

（14）已知A,B,C三点在球心为O，半径为R的球面上，ACBC，且ABR，那么A,B两点的球

面距离为_______________，球心到平面ABC的距离为______________.

三、 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15）（本小题共12分）

12sin(2x)4， 已知函数f(x)cosx（Ⅰ）求f(x)的定义域；

（Ⅱ）设是第四象限的角，且tan4，求f()的值. 3（16）（本小题共13分） 已知函数f(x)axbxcx在点x0处取得极大值5，其导函数yf'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：

（Ⅰ）x0的值； （Ⅱ）a,b,c的值.

（17）（本小题共14分）

如图，在底面为平行四边表的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点. （Ⅰ）求证：ACPB；

（Ⅱ）求证：PB//平面AEC； （Ⅲ）求二面角EACB的大小. （18）（本小题共13分）

某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；

方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a,b,c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.

（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；

（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）

32

（19）（本小题共14分）已知点M(2,0),N(2,0)，动点P满足条件|PM||PN|22.记动点P的轨迹为W.

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A,B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OAOB的最小值.

（20）（本小题共14分）

在数列{an}中，若a1,a2是正整数，且an|an1an2|,n3,4,5,，则称{an}为“绝对

差数列”.

（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；

（Ⅱ）若“绝对差数列”{an}中，a203,a210，数列{bn}满足bnanan1an2，n1,2,3,分别判断当n时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

，

绝密★启用前

2006年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理工农医类）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3

至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

3．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。

4．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1i（1）在复平面内，复数对应的点位于（D）

i（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

1i（＋i1i）＝＝1－i故选D 解：i－1（2）若a与bc都是非零向量，则“abac”是“a(bc)”的（C）

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（b－c）＝0a（b－c）解：abacab－ac＝0a

故选C

（3）在2345,1

这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（B）

（B）24个 （D）6个

（A）36个 （C）18个

解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有A33种方法（2）

33133个数字中有一个是奇数，有C13A3，故共有A3＋C3A3＝24种方法，故选B

（4）平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是（A） （A）一条直线 （B）一个圆

（C）一个椭圆 （D）双曲线的一支

解：设l与l是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面的交线上，故选A

(3a1)x4a,x1（5）已知f(x)是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（C）

logx,x1a1（B）(0,)

3111（C）[,) （D）[,1)

7371解：依题意，有0a1且3a－10，解得0a，又当x1时，（3a－1）x＋4a7a－1，

31当x1时，logax0，所以7a－10解得x故选C

7 （A）(0,1)

（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1x2)，

|f(x1)f(x2)||x2x1|恒成立”的只有（A）

（A）f(x)1 x

（B）fx|x| （D）f(x)x2

x1，x2（1，2）x1x21（C）f(x)2x 解：|x－x111－|＝|21|＝|x1－x2|x1x2x1x2|x1x2|1x1x21

|11－||x1－x2|故选A x1x223n10(nN)，则f(n)等于（D）

（7）设f(n)22427210

2（A）(8n1)

72（C）(8n31)

7

2（B）(8n11)

72 （D）(8n41)

7解：依题意，f(n)为首项为2，公比为8的前n＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D

（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A,B,C的机

动车辆数如图所示，图中x1,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段AB,BC,CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 （C） （A）x1x2x3 （B）x1x3x2 （C）x2x3x1 （D）x3x2x1

解：依题意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，x1x3，同理，x2＝30＋x1－20＝x1＋10

x1x2，同理，x3＝30＋x2－35＝x2－5x3x2故选C 绝密★启用前

2006年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理工农医类）（北京卷）

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

x23x2（9）lim的值等于

x1x21_______1

2x23x2（x1）（x＋2）x＋21limlim＝－解：lim＝＝ 2x1x1x－1x1（x＋1）（x－1）x－122（10）在(x)7的展开式中，x2的系数为－14（用数字作答）.

__________x7－3r2r7－3rrr（－2）C1＝（－2）C7x2令解：Tr+1＝C（x）（－）＝2得r＝1故 x2的系数为7

x2r77－r＝－14

（11）若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线，则

111 的值等于

ab2_______解：AB＝（a－2，－2），AC＝（－2，b－2） ，依题意，有（a－2）（b－2）－4＝0 即ab－2a－2b＝0所以

111＝ ab2（12）在ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则B的大小是

________3.

解： sinA:sinB:sinC5:7:8abc＝578设a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得B的大小为.

3xy4（13）已知点P(x,y)的坐标满足条件yx，点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于

x1________2,最大值等于

_________________10.

解：画出可行域，如图所示：

y易得A（2，2），OA＝22 BB（1，3），OB＝10 C（1，1），OC＝2 故|OP|的最大值为10， 最小值为2.

COAx（14）已知A,B,C三点在球心为O，半径为R的球面上，ACBC，且ABR，那么A,B两

点的球面距离为

3R，球心到平面ABC的距离为

___________________________3R2.

解：如右图，因为ACBC，所以AB是截面 的直径，又AB＝R，所以△OAB是等边三角形，

所以AOB＝，故A,B两点的球面距离为R，

33于是O1OA＝30，所以球心到平面ABC的距离

ACO1BOOO1＝Rcos30＝

3R. 2三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分）

解：（Ⅰ）由cosx≠0得xk2(kZ)

故f(x)的定义域为x|xk,kZ 2（Ⅱ）因为tana所以sina4，且a是第四象限的角。 343，cosa 5512sin(2a)4 故f(a)cosa22sin2acos2a)22cosa1sin2acos2acosa2cos2a2sinacosa 

cosa2(cosasina)14512(（16）（共13分）

解法一：

（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上f(x)0，在（1，2）上f(x)0， 在（2，＋∞）上f(x)0

故f(x)在（－∞，1），（2，＋∞）上递增，在（1，2）上递减。

因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x01。

2（Ⅱ）f(x)3ax2bxc

由f(1)0,f(2)0,f(1)5,

3a2bc0得12a4bc0 abc5解得a=2，b= -9，c=12 解法二： （Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）设f(x)m(x1)(x2)mx23mx2m 又f(x)3ax22bxc 所以am3,bm,c2m, 32f(x)m332xmx2mx 32由f(1)5

即

m3m2m5 32得m=6

所以a=2，b= -9，c=12

（17）（共14分）

解法一：

（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD ∴AB是PB在平面ABCD上的射影 又∵AB⊥AC，AC平面ABCD， ∴AC⊥PB

（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO。 ∵ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点， 又E是PD的中点， ∴EO∥PB

又PB平面AEC，EO平面AEC， ∴PB∥平面AEC。

（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为(,又0E(0,,),AC(a,0,0)

abb,0），OG＝（0，,0) 222bb22∴0EAC0,0GAC0 ∴OE⊥AC，OG⊥AC

∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角。 ∵cosEOGcos0E,0G0E0G0E0G2 2

∴EOG135

∴二面角EACB的大小为135

（18）（共13分）

解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C， 则PAa,PBb,PCc （Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率

ab1cbc1aac1babcabbcca2abc应聘者用方案二考试通过的概率

p1PABCPABCPABCPABC

p2111PABPBCPAC3331abbcca3

（Ⅱ）因为a,b,c0,1所以

p1p22abbcca2abc32ab1cbc1aca1b0 3故p1p2即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大。

（19）（共14分）

解法一：

（Ⅰ）由PMPN22知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a2

又半焦距c=2，故虚半轴长bc2a22

x2y21,x2 所以W的方程为22（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x1,y1），（x2,y2）

2当ABx轴时,x1x2,y1y2,从而OA,OBx1x2y1y2x1y122

当AB与x 轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得：

1kx222kmxm220

2kmm22,x1x22故x1x2 21kk1所以OAOBx1x2y1y2

x1x2kx1mkx2m1k2x1x2kmx1x2m2 21km222k2m2m2 k211k22k224k212k21又因为x1x20,所以k210,从而0A0B2 综上，当ABx轴时,OAOB取得最小值2。 解法二： （Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）设A，B的坐标分别为x1,y1,x2,y2，则

x2iy2ixiyixiyi2i1,2

令sixiyi,tixiyi

则siti2,且si0,ti0i1,2，所以

OAOBx1x2y1y214s1t1s2t214s1t1s2t2 12s11s22t1t2s1s2t1t22当且仅当s1s2t1t2,即x1x2y时，“=”成立

1y2所以OAOB的最小值是2。

20）（共14分）

（Ⅰ）解：a13,a21,a32,a41,a51,a60,a71,a81,a90,a101 （答案不惟一）

（Ⅱ）解：因为绝对差数列an中,a203,a210，所以自第20项开始，该数列是

（a203,a210,a223,a233,a240,a253,a263,a270,。

即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n时，an的极限不存在。 当n20时,bnanan1an26,所以limbn6

n（Ⅲ）证明：根据定义，数列an必在有限项后出现零项，证明如下：

假设an中没有零项，由于anan1an2，所以对于任意的n，都有an1，从而当

an1an2时,anan1an2an11n3；

当an1an2时,anan1an2an11n3 即an的值要么比an1至少小1，那么比an2至少小1。

a2n1a2n1a2n,令cnn1,2,3,,

aaa,2n2n2n1则0cncn11n2,3,4,.

由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c1<0，这与cn>0（n=1,2,3,…）矛盾，从而an必有零项。

若第一次出现的零项为第n项，记an1AA0，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A即

an3k0,an3k1A,k0,1,2,3,, an3k2A所以绝对差数列an中有无穷多个零的项。