高三理科数学试题
一.选择题(每小题5分,共60分)
1. 集合M{x|x4x0},则M的子集个数为 ( )
A. 2
23B. 3 C. 4 D.8
2.函数ylog1x2的定义域是( )
A.(3,+∞) B.(0,4] C. [3, +∞) D.[4, +∞)
3.下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( )
11A.ylog2x B. y C.y()x D.yx3
x24.若ab0,则 ( ) A.acbc(cR) C.lg(ab)0
221
b1 a1a1bD.()()
22B.
5. 函数y=ln(1-x)的图象大致为( )
6.定义在R上的偶函数f(x)在0,上递增,f()0,则满足f(log1x)>0的x
813的取值范围是 ( )
0, B.A.0,1111 0,,2 D. 0,2, C.
22 82sin47. 若2,则sincos的值为( )
cos2A.711
B.- C.
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D.
7 2 o8. 某人朝正东方向走x千米后,向右转150并走3千米,结果他离出发点恰好3千米,
那么x的值为( )
A.3
B.23
C.3或23
D.3
9. 已知简谐振动f(x)Asin(x)(2)的振幅为
3,图象上相邻最高点与最低点2之间的距离为5,且过点(0,),则该简谐振动的频率与初相分别为( )
34111 B., C., D. ,668663 46110.已知函数yf(x)是偶函数,当x0时,f(x)x,当x[3,1]时,记
xA.,f(x) 的最大值为m,最小值为n,则mn( )
A.
3344 B. C. D. 434311.平面上有四个互异的点A、B、C、D,满足(AB-BC)·(AD-CD)=0,则三角形ABC是 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
12. 函数f(x)在定义域R上不是常数函数,且f(x)满足条件:对任意xR ,都有
f(2x)f(2x),f(1x)f(x),则f(x)是( )
A. 奇函数但非偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数
B. 偶函数但非奇函数 D. 是非奇非偶函数
二.填空题(每小题5分,共20分)
13.已知集合A={0,1,2},集合B={x| x>2},则A∩B=________.
log2x(x0)114.已知函数f(x)x,则f[f()]的值是___________
4(x0)315. 在等腰直角三角形ABC中,D是斜边BC的中点,如果AB的长为2,则(ABAC)AD的值为
2216.若x1和x2是方程xmx20的两个实根,不等式a5a3x1x2 对任意实
数m[1,1]恒成立,则a的取值范围是
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三.解答题(共60分)
17.(本小题12分)已知集合A{x|61,xR},B{x|x22xm0}. x1 (1)当m=3时,求A(CRB);
(2)若AB{x|1x4},求实数m的值.
18. (本小题满分12分)已知向量 m(sinx,1),向量n(3cosx,),
函数f(x)(mn)m (Ⅰ)求f(x)的最小正周期T;
(Ⅱ)已知a,b,c分别为DABC内角A,B,C的对边,A为锐角,a=23,c=4,且f(A)恰是f(x)在[0,
12]上的最大值,求A,b和ABC的面积S. 219.(本小题满分12分)某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台,每批都购入x台(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4台,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);
(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,
20.(本小题满分12) 如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB5,AA1=4,点D是AB的中点
(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;
(Ⅱ)求二面角DCB1B的平面角的正切值.
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21.(本小题满分12分)已知函数f(x)xaxaln(x1)(aR) . (1) 当a1时,求函数f(x)的最值; (2) 求函数f(x)的单调区间;
(3)(仅385班、389班学生做) 试说明是否存在实数a(a1)使yf(x)的图象与
25yln2无公共点.
8四、选做题. (本小题满分10分)
(请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.) 22.选修4-1:几何证明选讲
如图所示,圆O的直径AB6,C为圆周上一点,BC3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,求∠DAC
D
C
A B
23.选修4-5;不等式选讲
x设f(x)=ax+2,不等式|f(x)|<6的解集为(-1,2),试求不等式≤1的解集。
f(x)
l
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O 理数答案
一. 选择题
DBBDC BCCBC BB
二. 填空题
13. 14. 15. 4 16. a1或a6
19三. 解答题
17. 解:由
6x51,得0,1x5A{x|1x5},……2分 x1x1(Ⅰ)当m=3时,B{x|1x3},则CRB{x|x1或x3}……5分
A(CRB){x|3x5}………7分
(II)A{x|1x5},AB{x|1x4},
有4224m0,解得m8,………………8分
此时B{x|2x4},符合题意,故 实数m的值为8.………………12分
18. (本小题满分12分)
解: (Ⅰ)f(x)(mn)msinx13sinxcosx21 …………2分 21cos2x31311sin2xsin2xcos2x2 22222sin(2x)2…………5分
62因为2,所以T…………6分
2 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知:f(A)sin(2A6)2
5x[0,]时,2x
2666由正弦函数图象可知,当2x所以2A62时f(x)取得最大值3
62,A3…………8分
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由余弦定理,abc2bccosA∴12b1624b从而S22221∴b2………10分 211bcsinA24sin6023…………12分 2219.
20.
(Ⅰ)证明:直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,
AC2BC2AB2
∴ AC⊥BC, …………………1分 又 AC⊥C1C,且BCC1CC
∴ AC⊥平面BCC1 ,又BC1平面BCC1 ……………………………………3分 ∴ AC⊥BC1 ………………………………………………………………4分 (Ⅱ)解法一:取BC中点E,过D作DFB1C于F,连接EF …………5分
D是AB中点,
∴DE//AC ,又AC平面BB1C1C ∴DE平面BB1C1C,
又EF平面BB1C1C,BC1平面BB1C1C ∴DEEF
∴B1CDE 又DFB1C且DEDFD
C1B1A1FCDAEB第 6 页 共 9 页
∴B1C平面DEF,EF平面DEF ………7分 ∴B1CEF 又
DFB1C
∴EFD是二面角DB1CB的平面角 ……………………………………8分 AC=3,BC=4,AA1=4, ∴在DEF中,DEEF,DE3,EF2 23DE32∴tanEFD …………………………………………11分 2EF42∴二面角DB1CB的正切值为
32 …………………………………………12分 4解法二:以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系…………5分
AC=3,BC=4,AA1=4,
z4,4), ∴A(3,0) C(0,0,0),D(,2,0),B1(0,0,0),B(0,4,32C1A1B13∴CD(,2,0),
2CB1(0,4,4)
平面CBB1C1的法向量n1(10,,0), …………………7分 设平面DB1C的法向量n2(x0,y0,z0),
AxCDBy则n1,n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角DCB1B的大小 …………8分
3n2CD0x02y00则由 令x04,则y03,z03 2n2CB104y04z00∴ n2(4,3,3) ………………10分
cosn1,n2n1n2432n2,则tann1, ……………11分
4|n1||n2|34∵二面角DB1CB是锐二面角 ∴二面角DB1CB的正切值为
32 ………………………… 12分 4第 7 页 共 9 页
221. 解:(1) 函数f(x)xaxaln(x1)(aR)的定义域是1,.
32x(x)12,所以fx在(1,3)为减函数 , 当a1时,f'(x)2x12x1x1333在(,)为增函数,所以函数f (x)的最小值为f()=ln2.
224a22x(x)a'2, (2) f(x)2xax1x1a22x(x)a22若a0时,则1,f(x)0在1,恒成立, 2x1所以f(x)的增区间为1,.
若a0,则
a2a2'f(x),1,故当x1,222x(xa2)20, x1当xa2,时,f(x) 22x(xa2)20, x1所以a0时f(x)的减区间为1,a2a2,f(x),的增区间为. 22a2a2a)1aln, (3) a1时,由(1)知f(x)在1,上的最小值为f(242a2aa2令g(a)f()1aln在 1,上单调递减,
422351ln2,则g(a)max(ln2)0, 4885因此存在实数aa1使f(x)的最小值大于ln2,
85故存在实数aa1使yf(x)的图象与yln2无公共点.
8所以g(a)maxg(1)四. 选做题
22.300 23. x>
12或x≤ 25第 8 页 共 9 页
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