发布网友 发布时间:2022-04-20 06:26
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热心网友 时间:2023-07-05 18:38
凸函数是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C(区间)上的实值函数。
凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。[1]
注意:中国*数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国*的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国*涉及经济学的很多书中,凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的,也就是和数学教材是反的。举个例子,同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反,本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集,而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集,两者定义正好相反。
另外,也有些教材会把凸定义为上凸,凹定义为下凸。碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C上的实值函数f,而且对于凸子集C中任意两个向量
、
有
成立。
于是容易得出对于任意(0,1)中有理数
,有
如果f连续,那么
可以改变成区间(0,1)中的任意实数。
若这里凸集C即某个区间I,那么就是:设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点
和任意的实数
,总有
则f称为I上的凸函数,当定义中的“≤”换成“<”也成立时,对应可称函数f为对应子集或区间上的严格凸函数。[2]
判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数,对于实数集上的凸函数,一般的判别方法是求它的二阶导数,如果其二阶导数在区间上非负,就称为凸函数。如果其二阶导数在区间上恒大于0,就称为严格凸函数。
定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续,且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间,那么f有可能在C的端点不连续。
一元可微函数在某个区间上是凸的,当且仅当它的导数在该区间上单调不减。
一元连续可微函数在区间上是凸的,当且仅当函数位于所有它的切线的上方:对于区间内的所有x和y,都有f(y) > f(x) + f '(x) (y − x)。特别地,如果f '(c) = 0,那么c是f(x)的最小值。
一元二阶可微的函数在区间上是凸的,当且仅当它的二阶导数是非负的;这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数,那么函数就是严格凸的,但反过来不成立。例如,f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2,当x = 0时为零,但x4是严格凸的。
更一般地,多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的,当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的。
凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。
对于凸函数f,水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}(a ∈ R)是凸集。然而,水平子集是凸集的函数不一定是凸函数;这样的函数称为拟凸函数。
延森不等式对于每一个凸函数f都成立。如果X是一个随机变量,在f的定义域内取值,那么(在这里,E表示数学期望。)
凸函数还有一个重要的性质:对于凸函数来说,局部最小值就是全局最小值。
综上所述,凸函数的主要性质有:
1.若f为定义在凸集S上的凸函数,则对任意实数β≥0,函数βf也是定义在S上的凸函数;
2.若f1和f2为定义在凸集S上的两个凸函数,则其和f=f1+f2仍为定义在S上的凸函数;
3.若fi(i=1,2,…,m)为定义在凸集S上的凸函数,则对任意实数βi≥0,函数βifi也是定义在S上的凸函数;
4.若f为定义在凸集S上的凸函数,则对每一实数c,水平集Sc={x|x∈S,f(x)≤c}是凸集.
希望我能帮助你解疑释惑。